5) У исполнителя Калькулятор три команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 1 2. умножь на 2 3. умножь...

Для решения задачи необходимо определить количество программ, которые преобразуют число 1 в число 14, используя три доступные команды. Давайте рассмотрим возможные пути от 1 до 14.

Подход к решению

Мы можем использовать метод динамического программирования или рекурсии с мемоизацией, чтобы определить количество способов достижения числа 14 из числа 1. Определим f(n) как количество способов получить число n, начиная с числа 1.

Начальные условия

• ( f(1) = 1 ) — есть только один способ быть в состоянии 1, и это начать с него.

Рекуррентное соотношение

Для любого числа n > 1, количество способов добраться до n можно выразить следующим образом:

• Если мы пришли в n из n-1 с помощью команды "прибавь 1", то количество путей будет f(n-1).
• Если мы пришли в n из n/2 с помощью команды "умножь на 2" (возможность применима только если n чётное), то количество путей будет f(n/2).
• Если мы пришли в n из n/3 с помощью команды "умножь на 3" (возможность применима только если n делится на 3), то количество путей будет f(n/3).

Таким образом, рекуррентное соотношение будет:

[ f(n) = f(n-1) + f(n/2) \text{(если } n \text{ чётное)} + f(n/3) \text{(если } n \text{ делится на 3)} ]

Вычисление для n = 14

Теперь, применяя данное соотношение, мы можем вычислить значения функции f(n) для всех n от 2 до 14.

1. ( f(1) = 1 )
2. ( f(2) = f(1) = 1 )
3. ( f(3) = f(2) + f(1) = 1 + 1 = 2 )
4. ( f(4) = f(3) = 2 )
5. ( f(5) = f(4) = 2 )
6. ( f(6) = f(5) + f(3) + f(2) = 2 + 2 + 1 = 5 )
7. ( f(7) = f(6) = 5 )
8. ( f(8) = f(7) = 5 )
9. ( f(9) = f(8) + f(6) + f(3) = 5 + 5 + 2 = 12 )
10. ( f(10) = f(9) = 12 )
11. ( f(11) = f(10) = 12 )
12. ( f(12) = f(11) + f(6) + f(4) = 12 + 5 + 2 = 19 )
13. ( f(13) = f(12) = 19 )
14. ( f(14) = f(13) = 19 )

Итак, количество программ, которые преобразуют число 1 в число 14, равно 19.

Для того чтобы число 1 преобразовать в число 14 с помощью данных команд, нужно последовательно выполнить определенные действия. Поскольку каждая команда может быть использована только один раз, нужно составить все возможные варианты программ, которые приведут к такому результату.

Один из вариантов программы: 1-> умножь на 3 -> 3 -> умножь на 3 -> 9 -> умножь на 2 -> 18 -> прибавь 1 -> 19

Таким образом, существует только одна программа, которая приведет число 1 к числу 14.