Алфавит первого племени содержит N символов, алфавит второго – в два раза больше. Племена обменялись...

Чтобы определить, какое приветствие содержит больше информации, нужно рассчитать количество информации в битах для каждого из них. Информация в сообщении измеряется с помощью энтропии, которая зависит от количества символов в алфавите.

Энтропия ( H ) одного символа в алфавите определяется формулой:

[ H = \log_2(M) ]

где ( M ) — количество символов в алфавите.

1. Для первого племени:

   • Алфавит содержит ( N ) символов.
   • Энтропия одного символа: ( H_1 = \log_2(N) ).
   • Сообщение состоит из 100 символов, значит, общее количество информации: [ I_1 = 100 \times \log_2(N) ]

2. Для второго племени:

   • Алфавит содержит в два раза больше символов, то есть ( 2N ).
   • Энтропия одного символа: ( H_2 = \log_2(2N) = \log_2(2) + \log_2(N) = 1 + \log_2(N) ).
   • Сообщение также состоит из 100 символов, значит, общее количество информации: [ I_2 = 100 \times (1 + \log_2(N)) ]

Теперь сравним ( I_1 ) и ( I_2 ):

[ I_1 = 100 \times \log_2(N) ] [ I_2 = 100 \times (1 + \log_2(N)) = 100 + 100 \times \log_2(N) ]

Разница в количестве информации между сообщениями второго и первого племени:

[ \Delta I = I_2 - I_1 = (100 + 100 \times \log_2(N)) - 100 \times \log_2(N) = 100 ]

Таким образом, приветствие второго племени содержит на 100 бит больше информации, чем приветствие первого племени.

Приветствие первого племени содержит больше информации на 100 бит, так как его алфавит содержит меньше символов.

Для расчета количества информации в битах в приветствии каждого племени, используем формулу Шеннона:

I = -log2(P),

где I - количество информации в битах, P - вероятность появления символа.

Поскольку алфавит первого племени содержит N символов, вероятность появления каждого символа равна 1/N. Для алфавита второго племени вероятность каждого символа равна 1/(2N).

Теперь рассчитаем количество информации в битах в приветствии каждого племени:

Для первого племени: I1 = -log2(1/N) = log2(N) бит.

Для второго племени: I2 = -log2(1/(2N)) = log2(2N) бит.

Теперь сравним количество информации в битах в приветствиях каждого племени. Поскольку log2(2N) = log2(2) + log2(N) = 1 + log2(N), то количество информации в приветствии второго племени будет на 1 бит больше, чем в приветствии первого племени.

Таким образом, приветствие второго племени содержит больше информации на 1 бит.