Алгоритм вычисления значений функций F(n) и G(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:...

Чтобы вычислить значение F(5) - G(5), сначала найдем значения F(n) и G(n) для n от 1 до 5, используя заданные рекуррентные соотношения.

1. n = 1:

   • F(1) = 1
   • G(1) = 1

2. n = 2:

   • F(2) = 2 F(1) - G(1) = 2 1 - 1 = 1
   • G(2) = 2 F(1) + G(1) = 2 1 + 1 = 3

3. n = 3:

   • F(3) = 2 F(2) - G(2) = 2 1 - 3 = -1
   • G(3) = 2 F(2) + G(2) = 2 1 + 3 = 5

4. n = 4:

   • F(4) = 2 F(3) - G(3) = 2 (-1) - 5 = -2 - 5 = -7
   • G(4) = 2 F(3) + G(3) = 2 (-1) + 5 = -2 + 5 = 3

5. n = 5:

   • F(5) = 2 F(4) - G(4) = 2 (-7) - 3 = -14 - 3 = -17
   • G(5) = 2 F(4) + G(4) = 2 (-7) + 3 = -14 + 3 = -11

Теперь мы можем найти F(5) - G(5): [ F(5) - G(5) = -17 - (-11) = -17 + 11 = -6 ]

Таким образом, значение F(5) - G(5) равно -6.

Для решения задачи вычислим значения функций ( F(n) ) и ( G(n) ) для каждого ( n ) от 1 до 5, используя заданные рекуррентные соотношения:

Даны начальные условия: [ F(1) = 1, \quad G(1) = 1. ]

Рекуррентные формулы: [ F(n) = 2 \cdot F(n-1) - G(n-1), ] [ G(n) = 2 \cdot F(n-1) + G(n-1), ] где ( n \geq 2 ).

Теперь вычислим значения по порядку.

Для ( n = 2 ):

[ F(2) = 2 \cdot F(1) - G(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1, ] [ G(2) = 2 \cdot F(1) + G(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3. ]

Для ( n = 3 ):

[ F(3) = 2 \cdot F(2) - G(2) = 2 \cdot 1 - 3 = -1, ] [ G(3) = 2 \cdot F(2) + G(2) = 2 \cdot 1 + 3 = 5. ]

Для ( n = 4 ):

[ F(4) = 2 \cdot F(3) - G(3) = 2 \cdot (-1) - 5 = -7, ] [ G(4) = 2 \cdot F(3) + G(3) = 2 \cdot (-1) + 5 = 3. ]

Для ( n = 5 ):

[ F(5) = 2 \cdot F(4) - G(4) = 2 \cdot (-7) - 3 = -14 - 3 = -17, ] [ G(5) = 2 \cdot F(4) + G(4) = 2 \cdot (-7) + 3 = -14 + 3 = -11. ]

Теперь найдём разность: [ F(5) - G(5) = -17 - (-11) = -17 + 11 = -6. ]

Ответ: (-6).