Автомат получает на вход нечётное число X. По этому числу строится трёхзначное число Y по следующим...

Наименьшее двузначное число, при обработке которого автомат выдаёт результат 101, это число 119.

Для определения наименьшего двузначного числа ( X ), при обработке которого автомат выдаёт результат ( Y = 101 ), необходимо решить систему уравнений, которые соответствуют правилам формирования числа ( Y ):

1. Первая цифра числа ( Y ) (разряд сотен) – остаток от деления ( X ) на 4.
2. Вторая цифра числа ( Y ) (разряд десятков) – остаток от деления ( X ) на 3.
3. Третья цифра числа ( Y ) (разряд единиц) – остаток от деления ( X ) на 2.

Для числа ( Y = 101 ), это означает:

1. ( X \mod 4 = 1 )
2. ( X \mod 3 = 0 )
3. ( X \mod 2 = 1 )

Теперь решим каждое из этих условий:

1. ( X \mod 4 = 1 ) означает, что ( X = 4k + 1 ) для некоторого целого ( k ).
2. ( X \mod 3 = 0 ) означает, что ( X = 3m ) для некоторого целого ( m ).
3. ( X \mod 2 = 1 ) означает, что ( X ) нечётное.

Теперь найдём ( X ), который удовлетворяет всем трём условиям. Поскольку ( X ) нечётное, начнём с первого условия: ( X = 4k + 1 ).

( X ) также должно быть кратно 3, так что ( 4k + 1 \equiv 0 \mod 3 ).

Преобразуем это уравнение: [ 4k + 1 \equiv 0 \mod 3 ] [ 4k \equiv -1 \mod 3 ] [ 4k \equiv 2 \mod 3 ]

Теперь найдём обратное значение 4 по модулю 3. [ 4 \equiv 1 \mod 3 ] Таким образом: [ k \equiv 2 \mod 3 ]

Это означает, что ( k ) может быть представлено как ( k = 3n + 2 ) для некоторого целого ( n ).

Подставляем это значение ( k ) в выражение для ( X ): [ X = 4(3n + 2) + 1 ] [ X = 12n + 9 ]

Теперь подставим наименьшее значение ( n ), чтобы ( X ) был двузначным числом: [ 12n + 9 \geq 10 ] [ 12n \geq 1 ] Поскольку ( n ) должно быть целым числом, начинаем с ( n = 1 ): [ n = 1 ] [ X = 12(1) + 9 = 21 ]

Проверим ( X = 21 ) на выполнение всех условий:

1. ( 21 \mod 4 = 1 ) – условие выполнено.
2. ( 21 \mod 3 = 0 ) – условие выполнено.
3. ( 21 \mod 2 = 1 ) – условие выполнено.

Таким образом, наименьшее двузначное число ( X ), при обработке которого автомат выдаёт результат 101, это ( 21 ).

Наименьшее двузначное число, при обработке которого автомат выдаёт результат 101, это число 105.

При делении 105 на 4 получаем остаток 1 (первая цифра числа Y). При делении 105 на 3 получаем остаток 0 (вторая цифра числа Y). При делении 105 на 2 получаем остаток 1 (третья цифра числа Y).

Таким образом, число 105 будет преобразовано автоматом в число 101.