Автомат получает на вход трёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам....

Наименьшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 1115, - это 456.

Для того чтобы получить число 1115, необходимо найти наименьшее трехзначное число, у которого суммы цифр равны 11 и 15. Рассмотрим все возможные варианты:

1. Первая сумма должна быть равна 11. Это возможно только если первая и вторая цифры исходного числа равны 5 и 6 (5 + 6 = 11).
2. Вторая сумма должна быть равна 15. Это возможно только если вторая и третья цифры исходного числа равны 9 и 6 (9 + 6 = 15).

Таким образом, наименьшее трехзначное число, которое после обработки автоматом даст результат 1115, это число 569.

Для решения этой задачи нам нужно выяснить, какое трехзначное число приведет к результату 1115 после обработки автоматом.

Давайте разберем, как формируется число 1115 согласно описанным правилам:

1. У нас есть два числа: 11 и 15, которые образуются из сумм первой и второй, а также второй и третьей цифр исходного числа соответственно.
2. Эти суммы должны быть записаны в порядке возрастания.

Итак:

• Пусть первая и вторая цифры трехзначного числа — (a) и (b), тогда (a + b = 11).
• Пусть вторая и третья цифры — (b) и (c), тогда (b + c = 15).

Теперь решим систему уравнений:

1. (a + b = 11)
2. (b + c = 15)

Найдем (b) из первого уравнения:

[b = 11 - a]

Подставим это значение во второе уравнение:

[11 - a + c = 15]

Решая уравнение для (c):

[c = 15 - (11 - a)] [c = 4 + a]

Теперь учтем, что (a), (b), и (c) — это цифры, то есть целые числа от 0 до 9.

Так как (b = 11 - a), то (b) должно быть в пределах от 0 до 9:

[0 \leq 11 - a \leq 9]

Решаем неравенство:

[2 \leq a \leq 11]

Так как (a) — это цифра, то (a) может быть в пределах от 2 до 9.

Теперь найдем возможные значения для (a), (b), и (c):

• Если (a = 6):

  • (b = 11 - 6 = 5)
  • (c = 4 + 6 = 10) (это не подходит, так как 10 — не цифра)

• Если (a = 7):

  • (b = 11 - 7 = 4)
  • (c = 4 + 7 = 11) (это не подходит, так как 11 — не цифра)

• Если (a = 8):

  • (b = 11 - 8 = 3)
  • (c = 4 + 8 = 12) (это не подходит, так как 12 — не цифра)

• Если (a = 9):

  • (b = 11 - 9 = 2)
  • (c = 4 + 9 = 13) (это не подходит, так как 13 — не цифра)

Проверим (a = 5):

• (b = 11 - 5 = 6)
• (c = 4 + 5 = 9)

Тогда трехзначное число — 569.

Проверим:

• (a + b = 5 + 6 = 11)
• (b + c = 6 + 9 = 15)

Суммы 11 и 15 записываются в порядке возрастания как 1115, что соответствует условию задачи.

Таким образом, наименьшее трехзначное число, которое после обработки автоматом даст результат 1115, это 569.