Два игрока, Паша и Валя, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по...

Давайте разберем каждое из заданий по отдельности.

1.

а) При каких значениях числа S Паша может выиграть в один ход?

Паша сможет выиграть в один ход, если он может сделать так, чтобы количество камней в куче стало не менее 36 и не более 85. Рассмотрим возможные ходы:

• Если ( S ) камней, то за один ход он может увеличить количество камней до ( S + 2 ) или ( 3S ).

Поэтому Паша может выиграть в один ход, если:

1. ( S + 2 \geq 36 ) и ( S + 2 \leq 85 ) или
2. ( 3S \geq 36 ) и ( 3S \leq 85 ).

Рассмотрим оба условия:

1. Для ( S + 2 \geq 36 ): ( S \geq 34 ).
2. Для ( 3S \geq 36 ): ( S \geq 12 ).

Также нужно учесть ограничения на максимум:

1. Для ( S + 2 \leq 85 ): ( S \leq 83 ).
2. Для ( 3S \leq 85 ): ( S \leq 28 ).

Таким образом, значения ( S ), при которых Паша может выиграть в один ход, следующие: ( S = 34, 35 ) (прибавляя 2) и ( S = 12, 13, \ldots, 28 ) (утраивая).

б) У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 28, 30, 32?

1. ( S = 28 ):

   • Паша может утроить: ( 3 \times 28 = 84 ). Паша побеждает, так как ( 84 \leq 85 ).

   Таким образом, у Паши есть выигрышная стратегия при ( S = 28 ).

2. ( S = 30 ):

   • Паша может утроить: ( 3 \times 30 = 90 ). Валя побеждает, так как ( 90 > 85 ).
   • Если Паша добавляет 2: ( 30 + 2 = 32 ). Теперь очередь Вали, и при ( S = 32 ) у Вали выигрышная стратегия (см. ниже).

   У Вали есть выигрышная стратегия при ( S = 30 ).

3. ( S = 32 ):

   • Паша может утроить: ( 3 \times 32 = 96 ). Валя побеждает.
   • Если Паша добавляет 2: ( 32 + 2 = 34 ). Валя может утроить: ( 3 \times 34 = 102 ). Валя побеждает.

   У Вали есть выигрышная стратегия при ( S = 32 ).

2. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 10, 8?

1. ( S = 10 ):

   • Возможные ходы Паши:
     • ( S + 2 = 12 ), Валя может утроить: ( 3 \times 12 = 36 ) (Валя побеждает).
     • ( 3 \times 10 = 30 ), Валя может добавить 2: ( 30 + 2 = 32 ), и далее у Вали выигрышная стратегия.

   У Вали есть выигрышная стратегия при ( S = 10 ).

2. ( S = 8 ):

   • Возможные ходы Паши:
     • ( S + 2 = 10 ), как выше, у Вали выигрышная стратегия.
     • ( 3 \times 8 = 24 ), Валя может сделать:
       • ( 24 + 2 = 26 ) или ( 3 \times 24 = 72 ) (Валя побеждает).

   У Вали есть выигрышная стратегия при ( S = 8 ).

3. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 6?

Построим дерево всех возможных партий:

1. Паша начинает с ( S = 6 ):

   • Ход 1 (Паша):
     • ( 6 + 2 = 8 )
     • ( 3 \times 6 = 18 )

2. Если Валя получает ( S = 8 ):

   • Ход 2 (Валя):
     • ( 8 + 2 = 10 )
     • ( 3 \times 8 = 24 )

3. Если Валя получает ( S = 18 ):

   • Ход 2 (Валя):
     • ( 18 + 2 = 20 )
     • ( 3 \times 18 = 54 ) (Валя побеждает).

Для каждого из промежуточных значений, таких как 10, 20 и 24, можно продолжать строить дерево, но в каждом случае, если Валя играет оптимально, она сможет либо выиграть сразу, либо оставлять Паше такие настройки, при которых он не сможет выиграть.

Таким образом, при ( S = 6 ) у Вали также есть выигрышная стратегия.

1. а) При значениях S = 1, 2, 3, 4, 5 Паша может выиграть в один ход, добавив два камня. б) При S = 28, 30, 32 выигрышная стратегия у Валя.

   • При S = 28: Паша добавляет два камня, увеличивая кучу до 30 камней. Валя утраивает количество камней, выигрывая игру.
   • При S = 30: Паша утраивает количество камней, куча становится 90. Валя добавляет два камня, увеличивая кучу до 92 камней. Паша утраивает количество камней, выигрывая игру.
   • При S = 32: Паша утраивает количество камней, куча становится 96. Валя добавляет два камня, увеличивая кучу до 98 камней. Паша утраивает количество камней, выигрывая игру.

2. У игрока с S = 10 выигрышная стратегия у Паши. Паша добавляет два камня, увеличивая кучу до 12. Далее он утраивает количество камней, побеждая. У игрока с S = 8 выигрышная стратегия у Валя. После любого хода Паши, Валя может утраивать количество камней, побеждая.

3. У игрока с S = 6 выигрышная стратегия у Паши. Паша добавляет два камня, увеличивая кучу до 8. Далее он утраивает количество камней, побеждая. Дерево партий для S = 6:

    6
   / \
     8   9
    / \ / \
   11 12 12 15
   

Таким образом, Паша имеет выигрышную стратегию при S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10. Валя имеет выигрышную стратегию при S = 28, 30, 32.