ЕГЭ Информатика Задание №18 На числовой прямой даны два отрезка: Р = [3, 38] и Q = [21, 57]. Выберите...

Для решения задачи ЕГЭ по информатике, связанной с анализом логических выражений и отрезков на числовой прямой, нужно внимательно рассмотреть данное условие и понять, как различные отрезки влияют на логическое выражение.

Условие задачи

Даны два отрезка:

• ( P = [3, 38] )
• ( Q = [21, 57] )

Нужно выбрать такой отрезок ( A ), чтобы выражение: [ \neg(x \in A) \rightarrow ((x \in P) \rightarrow \neg(x \in Q)) ] было тождественно истинным, то есть истинно при любом ( x ).

Расшифровка логического выражения

Рассмотрим выражение по частям:

• (\neg(x \in A)): ( x ) не принадлежит отрезку ( A ).
• ((x \in P)): ( x ) принадлежит отрезку ( P ).
• ((x \in Q)): ( x ) принадлежит отрезку ( Q ).

Выражение можно переписать в следующем виде: [ (\neg(x \in A)) \rightarrow ((x \in P) \rightarrow \neg(x \in Q)) ]

По свойству импликации ((A \rightarrow B) истина, если ( A ) ложь или ( B ) истина): [ \neg(x \in A) \rightarrow ((x \in P) \rightarrow \neg(x \in Q)) ]

Анализ выражения

Рассмотрим возможные случаи:

1. Если ( x \in A ), то ( \neg(x \in A) ) ложно, и вся импликация ( \neg(x \in A) \rightarrow ((x \in P) \rightarrow \neg(x \in Q)) ) становится истинной, независимо от значений ( x \in P ) и ( x \in Q ).

2. Если ( x \notin A ), то ( \neg(x \in A) ) истинно. Тогда выражение сводится к: [ (x \in P) \rightarrow \neg(x \in Q) ]

Для ( (x \in P) \rightarrow \neg(x \in Q) ) быть истинным:

• Либо ( x \notin P )
• Либо ( x \in P ) и ( x \notin Q )

Выбор отрезка ( A )

Нашей целью является найти такой отрезок ( A ), чтобы при ( x \notin A ), ложность ( (x \in P) \rightarrow \neg(x \in Q) ) избегалась.

Исследуем предложенные варианты:

1. ( A = [6, 20] )

   • Для ( x \notin [6, 20] ):
     • При ( x \in P ) и ( x \in Q ), например ( x = 25 ), ( (x \in P) \rightarrow \neg(x \in Q) ) будет ложным.
     • Не подходит.

2. ( A = [22, 35] )

   • Для ( x \notin [22, 35] ):
     • При ( x \in P ) и ( x \in Q ), например ( x = 25 ), ( (x \in P) \rightarrow \neg(x \in Q) ) будет ложным.
     • Не подходит.

3. ( A = [40, 60] )

   • Для ( x \notin [40, 60] ):
     • При ( x \in P ) и ( x \notin Q ), например ( x = 10 ), ( (x \in P) \rightarrow \neg(x \in Q) ) будет истинным.
     • Подходит.

4. ( A = [20, 40] )

   • Для ( x \notin [20, 40] ):
     • При ( x \in P ) и ( x \in Q ), например ( x = 25 ), ( (x \in P) \rightarrow \neg(x \in Q) ) будет ложным.
     • Не подходит.

Правильный ответ

Правильный отрезок ( A ) — это ( [40, 60] ), так как только при ( x \notin [40, 60] ) выражение ( (x \in P) \rightarrow \neg(x \in Q) ) будет истинным при всех возможных значениях ( x ).

Ответ: 3) [40, 60]

Для решения данной задачи нужно проанализировать логическое выражение и понять, при каких значениях переменной х оно будет истинным.

Давайте разберем выражение по частям:

1) ¬(х ∈ A) - это отрицание принадлежности х отрезку A. 2) (х ∈ Р) - это принадлежность х отрезку Р. 3) (х ∈ Q) - это принадлежность х отрезку Q.

Теперь рассмотрим само логическое выражение: ¬(х ∈ A) → ((х ∈ Р) → ¬(х ∈ Q))

• Если х принадлежит отрезку A, то выражение ¬(х ∈ A) будет ложным, и тогда всё выражение станет истинным независимо от значений х ∈ Р и х ∈ Q.
• Если х не принадлежит отрезку A, то важным является соотношение между х ∈ Р и х ∈ Q.

Исходя из этого, нужно выбрать такой отрезок А, при котором логическое выражение будет тождественно истинным.

Посмотрим на варианты: 1) [6,20] - х ∈ A, значит выражение ложно. 2) [22,35] - х ∈ A, значит выражение ложно. 3) [40,60] - х ∈ A, значит выражение ложно. 4) [20,40] - х ∈ A, значит выражение ложно.

Таким образом, ни один из предложенных отрезков не подходит под условие задачи.