Для того чтобы Чертёжник вернулся в исходную точку после выполнения программы, необходимо, чтобы суммарное смещение по осям ( x ) и ( y ) было равно нулю. Давайте разберем алгоритм пошагово и определим необходимые условия для этого.
Шаг 1: Чертёжник смещается на (52, -7):
- Новые координаты: ( (x + 52, y - 7) )
Шаг 2: Чертёжник выполняет команду "Повтори N раз":
- Сместиться на (15, 22)
- Сместиться на (a, b)
После выполнения этой команды N раз, суммарное смещение по осям будет:
- ( N \cdot (15 + a) ) по оси ( x )
- ( N \cdot (22 + b) ) по оси ( y )
Шаг 3: Чертёжник смещается на (-17, -35):
- Новые координаты: ( (x + 52 + N \cdot (15 + a) - 17, y - 7 + N \cdot (22 + b) - 35) )
Чтобы Чертёжник вернулся в исходную точку ( (x, y) ), нужно, чтобы суммарное смещение было равно нулю:
[
52 + N \cdot (15 + a) - 17 = 0
]
[
-7 + N \cdot (22 + b) - 35 = 0
]
Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.
Уравнение для оси ( x ):
[
52 - 17 + N \cdot (15 + a) = 0
]
[
35 + N \cdot (15 + a) = 0
]
[
N \cdot (15 + a) = -35
]
[
15 + a = -\frac{35}{N}
]
Уравнение для оси ( y ):
[
-7 - 35 + N \cdot (22 + b) = 0
]
[
-42 + N \cdot (22 + b) = 0
]
[
N \cdot (22 + b) = 42
]
[
22 + b = \frac{42}{N}
]
Теперь нам нужно найти минимальное натуральное значение ( N > 1 ), при котором (\frac{35}{N}) и (\frac{42}{N}) также будут целыми числами, потому что (a) и (b) должны быть целыми числами.
Рассмотрим делители числа 35:
И делители числа 42:
- 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Общий делитель, который больше 1 и является минимальным, это 7.
Проверим ( N = 7 ):
[
15 + a = -\frac{35}{7} = -5
]
[
a = -5 - 15 = -20
]
[
22 + b = \frac{42}{7} = 6
]
[
b = 6 - 22 = -16
]
Следовательно, при ( N = 7 ) и ( a = -20 ), ( b = -16 ), Чертёжник вернётся в исходную точку.
Ответ: минимальное натуральное значение ( N > 1 ), для которого найдутся такие значения чисел ( a ) и ( b ), что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку, равно 7.
