Исполнитель КУЗНЕЧИК живёт на числовой оси. Начальное положение КУЗНЕЧИКА – точка 0. Система команд Кузнечика: Вперед 5 – Кузнечик прыгает вперёд на 5 единиц, Назад 3 – Кузнечик прыгает назад на 3 единицы. Какое наименьшее количество раз должна встретиться в программе команда «Назад 3», чтобы Кузнечик оказался в точке 23?
Чтобы Кузнечик оказался в точке 23, ему необходимо совершить 5 прыжков вперед (5 5 = 25) и 1 прыжок назад (1 3 = 3). Таким образом, минимальное количество раз, которое должна встретиться команда "Назад 3" - 1 раз.
Чтобы Кузнечик оказался в точке 23, нужно учитывать, что его начальное положение — точка 0, и он может двигаться вперёд на 5 единиц и назад на 3 единицы.
Для решения задачи разберёмся с движениями Кузнечика:
Тогда уравнение, описывающее положение Кузнечика на числовой оси, будет: [ 5x - 3y = 23 ]
Нам нужно найти такие целые значения ( x ) и ( y ), чтобы ( y ) (количество прыжков назад) было минимально возможным.
Рассмотрим допустимые значения ( x ) и соответствующие значения ( y ):
Для ( y ) быть целым числом, выражение ( 5x - 23 ) должно быть кратно 3. Найдём такие ( x ), которые удовлетворяют этому условию.
Пробуем разные значения ( x ):
( x = 5 ): [ 5 \cdot 5 - 3y = 23 ] [ 25 - 3y = 23 ] [ 3y = 2 ] ( y ) не целое число.
( x = 6 ): [ 5 \cdot 6 - 3y = 23 ] [ 30 - 3y = 23 ] [ 3y = 7 ] ( y ) не целое число.
( x = 7 ): [ 5 \cdot 7 - 3y = 23 ] [ 35 - 3y = 23 ] [ 3y = 12 ] [ y = 4 ] ( y ) целое число.
Таким образом, при ( x = 7 ) и ( y = 4 ) уравнение выполняется, и ( y = 4 ) является наименьшим количеством раз, когда команда «Назад 3» должна встретиться в программе.
Проверим: Кузнечик прыгает вперёд 7 раз: [ 7 \times 5 = 35 ]
Затем назад 4 раза: [ 4 \times 3 = 12 ]
Тогда конечная позиция: [ 35 - 12 = 23 ]
Таким образом, наименьшее количество раз, которое команда «Назад 3» должна встретиться в программе, чтобы Кузнечик оказался в точке 23, равно 4.
