Из 16 монет половина фальшивых которые легче настоящих. За какое минимальное число взвешиваний с помощью...

Для нахождения всех фальшивых монет потребуется 4 взвешивания.

Для решения этой задачи мы можем разделить 16 монет на 3 группы: А, В и С, содержащие по 5, 5 и 6 монет соответственно. Сначала взвесим группы А и В.

Если одна из них легче, то это означает, что в этой группе находится фальшивые монеты. Тогда мы можем взвесить 3 монеты из этой группы (пусть это будет группа А) и определить, какая из них легче. Таким образом, мы нашли все фальшивые монеты за 2 взвешивания.

Если же группы А и В весят одинаково, то это означает, что фальшивые монеты находятся в группе С. Тогда мы можем взвесить по 2 монеты из группы С.

Если одна из них легче, то это означает, что она содержит фальшивые монеты. Тогда мы можем взвесить оставшиеся 2 монеты из группы С и определить, какая из них легче. Таким образом, мы нашли все фальшивые монеты за 3 взвешивания.

Если обе монеты из группы С весят одинаково, то это означает, что фальшивые монеты находятся в группе С, но мы не знаем, какая из них легче.

Тогда мы можем взвесить 2 монеты из группы С. Если одна из них легче, то это будет фальшивая монета. Если они весят одинаково, то фальшивая монета будет третья. Таким образом, мы также находим все фальшивые монеты за 3 взвешивания.

Таким образом, минимальное число взвешиваний для нахождения всех фальшивых монет равно 3.

Рассмотрим задачу поиска фальшивых монет из 16, где половина (то есть 8) фальшивые и легче настоящих. Для решения этой задачи используем двухчашечные весы, которые позволяют определить различие в весе между двумя группами монет.

Шаг 1: Разделение на группы

Разделим все 16 монет на две равные группы по 8 монет:

• Группа A: 8 монет
• Группа B: 8 монет

Шаг 2: Первое взвешивание

Положим группу A на одну чашу весов, а группу B на другую:

• Если весы находятся в равновесии, значит в каждой группе по 4 фальшивые монеты.
• Если одна чаша легче, то в этой группе больше фальшивых монет. Предположим, что группа A легче.

Шаг 3: Разделение групп A и B

Рассмотрим два случая:

1. Группа A была легче:
   • Разделим группу A на две подгруппы по 4 монеты каждая: A1 и A2.
   • Разделим группу B на две подгруппы по 4 монеты каждая: B1 и B2.

Шаг 4: Второе взвешивание

Положим подгруппу A1 на одну чашу, а подгруппу A2 на другую:

• Если весы находятся в равновесии, значит в каждой подгруппе по 2 фальшивые монеты.
• Если одна чаша легче (предположим, A1 легче), в A1 больше фальшивых монет, чем в A2.

Шаг 5: Продолжение деления

1. Пусть A1 легче:
   • Разделим A1 на две подгруппы по 2 монеты каждая: A1a и A1b.
   • Разделим A2 на две подгруппы по 2 монеты каждая: A2a и A2b.

Шаг 6: Третье взвешивание

Положим подгруппу A1a на одну чашу, а подгруппу A1b на другую:

• Если весы находятся в равновесии, значит в каждой подгруппе по 1 фальшивой монете.
• Если одна чаша легче (предположим, A1a легче), в A1a 2 фальшивые монеты.

Шаг 7: Четвертое взвешивание

1. Пусть в A1a 2 фальшивые монеты:

   • Разделим A1a на две монеты и взвесим их:
     • Легкая монета будет фальшивой.
     • Вторая монета также будет фальшивой.

2. Если весы находятся в равновесии:

   • В каждой подгруппе по 1 фальшивой монете:
     • Легкая монета будет фальшивой.

Повторение процесса для остальных подгрупп

Аналогично, повторяем процесс для подгрупп A1b, A2a, и A2b, а также для подгрупп группы B, если в первоначальном взвешивании весы находились в равновесии.

Итог

На каждом этапе мы делили группы на две равные части и проводили взвешивание, чтобы определить, какая из частей легче и содержит больше фальшивых монет. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будут идентифицированы все фальшивые монеты.

Таким образом, минимальное число взвешиваний, необходимое для нахождения всех фальшивых монет, составляет 4.