Какое количество информации содержит сообщение о том,что из колоды в 32 карты достали даму треф и короля...

Чтобы определить количество информации, содержащейся в сообщении о том, что из колоды в 32 карты достали даму треф и короля пик, необходимо использовать концепцию информации в теории вероятностей и комбинаторике.

1. Колода карт

В колоде в 32 карты (как правило, это колода, состоящая из карт от 7 до туза в червях, бубнах, трефах и пик) содержится 32 карты:

• 8 карт каждой масти (черви, бубны, трефы, пики).

2. Ситуация 1: Карты достаются одновременно

Когда карты достаются одновременно, мы можем рассматривать это как выбор двух карт из колоды.

Общее количество способов выбрать 2 карты из 32 равно:

[ C(32, 2) = \frac{32!}{2!(32-2)!} = \frac{32 \times 31}{2} = 496. ]

Теперь, в нашем случае, нас интересует только один специфический исход: мы достали даму треф и короля пик. Поскольку это один конкретный исход из 496 возможных, вероятность данного события равна:

[ P(\text{дама треф и король пик}) = \frac{1}{496}. ]

Количество информации ( I ) в битах может быть определено как:

[ I = -\log_2(P) = -\log_2\left(\frac{1}{496}\right) = \log_2(496). ]

Чтобы найти ( \log_2(496) ), воспользуемся приближением, что:

[ 496 = 2^4 \times 31. ]

Следовательно,

[ \log_2(496) = 4 + \log_2(31). ]

Приблизительно, ( \log_2(31) \approx 4.95 ), поэтому:

[ \log_2(496) \approx 4 + 4.95 \approx 8.95 \text{ бит}. ]

3. Ситуация 2: Карты достаются по очереди

Когда карты достаются по очереди, мы рассматриваем два последовательных события: сначала достаем даму треф, а затем короля пик.

При первом извлечении мы достаем даму треф. Вероятность того, что это будет именно дама треф, равна:

[ P_1 = \frac{1}{32}. ]

После того как дама треф была извлечена, в колоде остается 31 карта, и вероятность того, что вторым будет король пик:

[ P_2 = \frac{1}{31}. ]

Общая вероятность того, что сначала будет дама треф, а затем король пик:

[ P = P_1 \times P_2 = \frac{1}{32} \times \frac{1}{31} = \frac{1}{992}. ]

Количество информации ( I ) в этом случае:

[ I = -\log_2(P) = -\log_2\left(\frac{1}{992}\right) = \log_2(992). ]

Аналогично, вычислим ( \log_2(992) ):

[ 992 = 2^5 \times 31. ]

Следовательно,

[ \log_2(992) = 5 + \log_2(31) \approx 5 + 4.95 \approx 9.95 \text{ бит}. ]

Итоговые результаты:

• При одновременном выборе карт: количество информации составляет примерно 8.95 бит.
• При последовательном выборе карт: количество информации составляет примерно 9.95 бит.

Таким образом, последовательный выбор карт дает больше информации, так как в этом случае вероятность извлечения конкретной комбинации карт ниже.

Чтобы определить количество информации в сообщении, что из колоды в 32 карты достали даму треф и короля пик, нужно воспользоваться понятием энтропии и формулой Шеннона для расчета количества информации:

[ I = \log_2 \frac{1}{P} ]

где (P) — вероятность события, а (I) — количество информации в битах.

Рассмотрим оба случая по порядку.

Случай 1: Карты достаются одновременно

Когда обе карты (дама треф и король пик) достаются одновременно из колоды, вероятность события рассчитывается следующим образом:

1. В колоде 32 карты, и мы выбираем 2 карты одновременно. Общее число возможных комбинаций двух карт из 32 равно числу сочетаний:

[ C(32, 2) = \frac{32 \cdot 31}{2} = 496 ]

1. Событие, что достаются именно две конкретные карты (дама треф и король пик), — это один конкретный случай из всех возможных. То есть вероятность:

[ P = \frac{1}{C(32, 2)} = \frac{1}{496} ]

1. Количество информации, связанное с этим событием, равно:

[ I = \log_2 \frac{1}{P} = \log_2 496 \approx \log_2 (2^8 \cdot 1.9375) \approx 8.96 \, \text{бит} ]

Таким образом, в случае одновременного выбора двух карт сообщение содержит около 8.96 бит информации.

Случай 2: Карты достаются по очереди

Когда карты достаются поочередно, вероятность события рассчитывается иначе, так как порядок вытягивания карт имеет значение.

1. Вероятность достать даму треф первой:

[ P_1 = \frac{1}{32} ]

1. После того как дама треф достана, в колоде остается 31 карта, и вероятность достать короля пик второй:

[ P_2 = \frac{1}{31} ]

1. Вероятность совместного события (достать сначала даму треф, а затем короля пик):

[ P = P_1 \cdot P_2 = \frac{1}{32} \cdot \frac{1}{31} = \frac{1}{992} ]

1. Количество информации, связанное с этим событием:

[ I = \log_2 \frac{1}{P} = \log_2 992 \approx \log_2 (2^9 \cdot 1.9375) \approx 9.96 \, \text{бит} ]

Таким образом, в случае поочередного выбора карт сообщение содержит около 9.96 бит информации.

Вывод:

• Если карты достаются одновременно, сообщение содержит 8.96 бит информации.
• Если карты достаются по очереди, сообщение содержит 9.96 бит информации.

Разница возникает из-за того, что порядок вытягивания карт важен в случае поочередного выбора, что уменьшает вероятность события и увеличивает количество информации.