Какое наименьшее число символов должно быть в алфавите, чтобы с помощью всевозможных 3-буквенных слов, состоящих из символов данного алфавита, можно было передать не менее 30 различных сообщений? 6.Световое табло состоит из лампочек. Каждая лампочка может находиться в одном из трех состояний («включено», «выключено» или «мигает»). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 100 различных сообщений?
Для решения обоих вопросов, нужно воспользоваться комбинаторным подходом и теорией информации.
Чтобы передать не менее 30 различных сообщений с помощью 3-буквенных слов, нужно определить минимальное количество символов в алфавите.
Допустим, алфавит состоит из ( n ) символов. Тогда количество всевозможных 3-буквенных слов, которые можно составить из этого алфавита, будет равно ( n^3 ), так как каждая позиция в слове может быть заполнена любым из ( n ) символов.
Нам нужно, чтобы ( n^3 \geq 30 ).
Рассчитаем ( n ):
[ n^3 \geq 30 ]
Извлечем кубический корень из обеих частей неравенства:
[ n \geq \sqrt[3]{30} ]
Приблизительно:
[ \sqrt[3]{30} \approx 3.1 ]
Так как ( n ) должно быть целым числом, наименьшее значение ( n ), удовлетворяющее этому неравенству, равно 4. Проверим:
[ 4^3 = 64 ]
64 больше 30, значит, 4 символа в алфавите достаточно, чтобы передать не менее 30 различных сообщений.
Теперь рассмотрим световое табло, где каждая лампочка может находиться в одном из трех состояний («включено», «выключено», «мигает»). Нужно определить минимальное количество лампочек, чтобы с его помощью можно было передать 100 различных сообщений.
Допустим, на табло ( k ) лампочек. Каждая лампочка может находиться в 3 состояниях, следовательно, общее количество возможных комбинаций состояний для ( k ) лампочек будет ( 3^k ).
Нам нужно, чтобы ( 3^k \geq 100 ).
Рассчитаем ( k ):
[ 3^k \geq 100 ]
Возьмем логарифм по основанию 3 от обеих частей неравенства:
[ k \geq \log_3(100) ]
Используем преобразование логарифма:
[ \log3(100) = \frac{\log{10}(100)}{\log_{10}(3)} ]
Приблизительно:
[ \log{10}(100) = 2 ] [ \log{10}(3) \approx 0.477 ]
Тогда:
[ \frac{2}{0.477} \approx 4.19 ]
Так как ( k ) должно быть целым числом, наименьшее значение ( k ), удовлетворяющее этому неравенству, равно 5. Проверим:
[ 3^5 = 243 ]
243 больше 100, значит, 5 лампочек на табло достаточно, чтобы передать 100 различных сообщений.
5.
Для передачи не менее 30 различных сообщений с помощью 3-буквенных слов необходимо, чтобы количество комбинаций символов алфавита было не менее 30. Пусть n - количество символов в алфавите. Тогда общее количество возможных 3-буквенных слов равно n^3. Для того чтобы n^3 было не менее 30, нужно, чтобы n было не менее кубического корня из 30. Так как кубический корень из 30 округленно равен 3.11, то наименьшее число символов в алфавите должно быть 4. Таким образом, чтобы передать не менее 30 различных сообщений с помощью 3-буквенных слов, необходимо иметь алфавит из 4 символов.
Чтобы передать 100 различных сообщений с помощью светового табло, каждое сообщение можно закодировать с помощью двоичного числа, которое будет соответствовать состоянию каждой лампочки на табло (1 для включено, 0 для выключено). Для передачи 100 различных сообщений необходимо иметь количество лампочек, которое будет равно или больше количества возможных комбинаций из 7 бит (так как log2(100) округленно равно 7). Таким образом, наименьшее количество лампочек на табло должно быть равно 7, чтобы можно было передать 100 различных сообщений.
