Найдите основание системы счисления Х, для которого выполняется равенство: 42х+41х=133х

Чтобы найти основание системы счисления ( X ), при котором выполняется равенство ( 42_X + 41_X = 133_X ), необходимо перевести числа из системы счисления с основанием ( X ) в десятичную систему и решить уравнение.

1. Преобразование чисел в десятичную систему:

   • ( 42_X ) в десятичной системе: [ 4X + 2 ]

   • ( 41_X ) в десятичной системе: [ 4X + 1 ]

   • ( 133_X ) в десятичной системе: [ 1X^2 + 3X + 3 ]

2. Запись уравнения в десятичной системе:

   Уравнение ( 42_X + 41_X = 133_X ) в десятичной системе выглядит следующим образом: [ (4X + 2) + (4X + 1) = 1X^2 + 3X + 3 ]

3. Упрощение уравнения:

   • Сложим левые части: [ 8X + 3 ]

   • Уравнение примет вид: [ 8X + 3 = 1X^2 + 3X + 3 ]

4. Решение уравнения:

   Переносим всё в одну часть: [ 0 = 1X^2 + 3X + 3 - 8X - 3 ]

   Упрощаем: [ 0 = X^2 - 5X ]

   Факторизуем: [ 0 = X(X - 5) ]

   Из этого уравнения следует два решения: [ X = 0 \quad \text{или} \quad X = 5 ]

   Поскольку основание системы счисления не может быть нулевым, подходящее решение — ( X = 5 ).

5. Проверка:

   Подставим ( X = 5 ) обратно в исходное уравнение и проверим:

   • ( 42_5 = 4 \cdot 5 + 2 = 20 + 2 = 22 )
   • ( 41_5 = 4 \cdot 5 + 1 = 20 + 1 = 21 )
   • ( 133_5 = 1 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5 + 3 = 25 + 15 + 3 = 43 )

   Проверка: [ 22 + 21 = 43 ]

   Равенство выполняется.

Таким образом, основание системы счисления, для которого выполняется данное равенство, равно ( X = 5 ).

Основание системы счисления Х равно 5.

Для нахождения основания системы счисления Х, для которого выполняется равенство 42х + 41х = 133х, необходимо решить уравнение:

42х + 41х = 133х

83х = 133х

Это равенство верно только при условии, что 83 = 133, что невозможно. Следовательно, данное уравнение не имеет решения.

Таким образом, основание системы счисления X, при котором выполняется данное равенство, не существует.