Найдите все де­ся­тич­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие 30, за­пись ко­то­рых в си­сте­ме счис­ле­ния...

Для того чтобы решить эту задачу, нужно выяснить, какие десятичные числа при переводе в систему счисления с основанием 4 оканчиваются на 31.

В системе счисления с основанием 4 каждая позиция числа представляет степень четверки, умноженную на коэффициент от 0 до 3. Запись числа в виде "31" в четверичной системе можно представить как: [ 3 \cdot 4^1 + 1 \cdot 4^0 = 3 \cdot 4 + 1 \cdot 1 = 12 + 1 = 13 ]

Теперь необходимо найти все числа в десятичной системе, которые при переводе в систему с основанием 4 оканчиваются на 31. Это означает, что числа должны иметь вид ( 13 + k \cdot 4^2 ), где ( k ) – целое число, так как числа должны оканчиваться на 31, а следующая позиция после единиц и троек будет уже умножаться на ( 4^2 ).

Рассчитаем несколько первых таких чисел:

• При ( k = 0 ): ( 13 + 0 \cdot 16 = 13 )
• При ( k = 1 ): ( 13 + 1 \cdot 16 = 29 )
• При ( k = 2 ): ( 13 + 2 \cdot 16 = 45 ) (уже больше 30, не подходит)

Таким образом, десятичные числа, не превосходящие 30 и имеющие запись в системе счисления с основанием 4, оканчивающуюся на 31, это 13 и 29.

Для того чтобы найти все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 4 оканчивается на 31, нужно рассмотреть все возможные числа в диапазоне от 0 до 30 и проверить их запись в системе счисления с основанием 4.

Для начала переведем числа от 0 до 30 из десятичной системы в систему с основанием 4: 0 - 0 1 - 1 2 - 2 3 - 3 4 - 10 5 - 11 6 - 12 7 - 13 8 - 20 9 - 21 10 - 22 11 - 23 12 - 30 13 - 31 14 - 32 15 - 33 16 - 100 17 - 101 18 - 102 19 - 103 20 - 110 21 - 111 22 - 112 23 - 113 24 - 120 25 - 121 26 - 122 27 - 123 28 - 130 29 - 131 30 - 132

Из приведенных примеров видно, что только числа 13 и 29 удовлетворяют условию окончания на 31 в системе с основанием 4, при этом они не превышают 30 в десятичной системе.

Таким образом, ответ на вопрос: все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 4 оканчивается на 31, это числа 13 и 29.