Для решения задачи нужно определить, сколько существует программ, которые начинают с числа 1, достигают числа 8, а затем числа 15, используя команды "прибавить 1" и "прибавить 3".
Этап 1: Пути от 1 до 8
Сначала нужно найти все возможные пути от числа 1 до числа 8. Обозначим количество способов достижения числа ( n ) из числа 1 как ( P(n) ).
Для этого можем использовать динамическое программирование:
- ( P(1) = 1 ) (начальное состояние, одна программа — ничего не делать).
- Для ( n \geq 2 ):
[
P(n) = P(n-1) + P(n-3)
]
Это объясняется тем, что чтобы достичь числа ( n ), можно либо прибавить 1 к числу ( n-1 ), либо прибавить 3 к числу ( n-3 ).
Рассчитаем значения ( P(n) ) для ( n ) от 1 до 8:
[
\begin{align}
P(1) & = 1 \
P(2) & = P(1) = 1 \
P(3) & = P(2) + P(0) = 1 + 0 = 1 \
P(4) & = P(3) + P(1) = 1 + 1 = 2 \
P(5) & = P(4) + P(2) = 2 + 1 = 3 \
P(6) & = P(5) + P(3) = 3 + 1 = 4 \
P(7) & = P(6) + P(4) = 4 + 2 = 6 \
P(8) & = P(7) + P(5) = 6 + 3 = 9 \
\end{align}
]
Итак, существует 9 способов достичь числа 8, начиная с числа 1.
Этап 2: Пути от 8 до 15
Теперь найдем все возможные пути от числа 8 до числа 15. Обозначим количество способов достижения числа ( m ) из числа 8 как ( Q(m) ).
Аналогично предыдущему этапу:
- ( Q(8) = 1 ) (начальное состояние).
- Для ( m \geq 9 ):
[
Q(m) = Q(m-1) + Q(m-3)
]
Рассчитаем значения ( Q(m) ) для ( m ) от 8 до 15:
[
\begin{align}
Q(8) & = 1 \
Q(9) & = Q(8) = 1 \
Q(10) & = Q(9) + Q(7) = 1 + 0 = 1 \
Q(11) & = Q(10) + Q(8) = 1 + 1 = 2 \
Q(12) & = Q(11) + Q(9) = 2 + 1 = 3 \
Q(13) & = Q(12) + Q(10) = 3 + 1 = 4 \
Q(14) & = Q(13) + Q(11) = 4 + 2 = 6 \
Q(15) & = Q(14) + Q(12) = 6 + 3 = 9 \
\end{align}
]
Итак, существует 9 способов достичь числа 15, начиная с числа 8.
Итоговое решение
Чтобы найти общее количество программ, которые начинают с числа 1, достигают числа 8, а затем числа 15, нужно перемножить количество путей от 1 до 8 и от 8 до 15:
[
9 \times 9 = 81
]
Ответ
Существует 81 программа, которая, начиная с числа 1, достигает числа 15, при этом проходя через число 8.
