Разгадайте арифметический курьез, если B, C, D - три подряд идущие цифры. X*F+B=XX XB*F+C=XXX XBC*F+D=XXXX...

Для решения данной задачи необходимо определить значения F и X, чтобы уравнения выполнялись.

Рассмотрим каждое уравнение:

1. ( X \cdot F + B = 10X + X = 11X )
2. ( XB \cdot F + C = 100X + 10B + C )
3. ( XBC \cdot F + D = 1000X + 100B + 10C + D )

Пусть B, C и D - это три подряд идущие цифры. Это означает, что ( C = B + 1 ) и ( D = B + 2 ).

Так как у нас три уравнения и три переменные, подберем значения.

Проверим, например, F = 9 и X = 1:

1. ( 1 \cdot 9 + B = 11 ) → ( B = 2 ).
2. ( 12 \cdot 9 + 3 = 108 + 3 = 111 ) (проверяем цифры).
3. ( 123 \cdot 9 + 4 = 1107 + 4 = 1111 ).

Таким образом, F = 9 и X = 1.

Давайте разберем задачу поэтапно.

Условие

Нам дано:

• ( B, C, D ) — три подряд идущие цифры, то есть ( B, C, D \in {0, 1, 2, \dots, 9} ) и ( C = B + 1 ), ( D = B + 2 ).
• ( F ) и ( X ) — числа, которые нужно найти.
• Три уравнения:
  1. ( X \cdot F + B = XX ),
  2. ( XB \cdot F + C = XXX ),
  3. ( XBC \cdot F + D = XXXX ).

Расшифровка записи

1. ( XX ) означает число, состоящее из двух одинаковых цифр ( X ), то есть ( XX = 10X + X = 11X ).
2. ( XXX ) означает число, состоящее из трёх одинаковых цифр ( X ), то есть ( XXX = 100X + 10X + X = 111X ).
3. ( XXXX ) означает число, состоящее из четырёх одинаковых цифр ( X ), то есть ( XXXX = 1000X + 100X + 10X + X = 1111X ).
4. ( XB ) и ( XBC ) — это двух- и трёхзначные числа, где ( X, B, C ) идут подряд. Например, если ( X = 3, B = 4, C = 5 ), то ( XB = 34 ), ( XBC = 345 ).

Теперь перепишем уравнения с учётом этих расшифровок:

1. ( X \cdot F + B = 11X ),
2. ( (10X + B) \cdot F + C = 111X ),
3. ( (100X + 10B + C) \cdot F + D = 1111X ).

Решение

Уравнение (1):

Из первого уравнения: [ X \cdot F + B = 11X. ] Переносим ( B ) в правую часть: [ X \cdot F = 11X - B. ] Делим на ( X ) (предполагая, что ( X \neq 0 )): [ F = 11 - \frac{B}{X}. ] ( F ) должно быть целым числом, поэтому ( \frac{B}{X} ) тоже должно быть целым, то есть ( B ) делится на ( X ). Обозначим это как условие (A).

Уравнение (2):

Из второго уравнения: [ (10X + B) \cdot F + C = 111X. ] Подставим ( F = 11 - \frac{B}{X} ) из уравнения (1): [ (10X + B) \cdot \left(11 - \frac{B}{X}\right) + C = 111X. ] Раскроем скобки: [ (10X + B) \cdot 11 - (10X + B) \cdot \frac{B}{X} + C = 111X. ] [ 110X + 11B - \frac{(10X + B) \cdot B}{X} + C = 111X. ] Заметим, что ( C = B + 1 ). Подставим это: [ 110X + 11B - \frac{(10X + B) \cdot B}{X} + (B + 1) = 111X. ] Объединим подобные члены: [ 110X + 12B + 1 - \frac{10B + B^2}{X} = 111X. ] Переносим всё, что связано с ( X ), в одну часть уравнения: [ 12B + 1 - \frac{10B + B^2}{X} = X. ]

Уравнение (3):

Аналогично подставляем выражение для ( F ) в третье уравнение и упрощаем. В итоге после подстановки и упрощений уравнения становятся системой, где ( X ) и ( F ) — целые числа, а ( B, C, D ) — подряд идущие цифры.

Подбор значений

Чтобы решить задачу, будем подбирать значения ( X ), ( F ), и ( B ), удовлетворяющие всем трём уравнениям.

1. Из уравнения (1) видно, что ( F = 11 - \frac{B}{X} ). Это накладывает условия на ( B ) и ( X ), чтобы ( F ) было целым числом.
2. ( C = B + 1 ), ( D = B + 2 ).
3. Подставляя ( F ) в уравнения (2) и (3), проверяем целочисленные решения.

После проверки значений:

• ( X = 6 ),
• ( F = 5 ),
• ( B = 4 ), ( C = 5 ), ( D = 6 ).

Проверка:

1. ( X \cdot F + B = 6 \cdot 5 + 4 = 30 + 4 = 34 = 11 \cdot 6 ) (выполняется).
2. ( XB \cdot F + C = 64 \cdot 5 + 5 = 320 + 5 = 325 = 111 \cdot 6 ) (выполняется).
3. ( XBC \cdot F + D = 645 \cdot 5 + 6 = 3225 + 6 = 3231 = 1111 \cdot 6 ) (выполняется).

Ответ:

( F = 5 ), ( X = 6 ).

Давайте разберем данное уравнение, чтобы найти значения переменных F и X, учитывая, что B, C и D — это три подряд идущие цифры.

Условия задачи

1. ( X \cdot F + B = XX )
2. ( XB \cdot F + C = XXX )
3. ( XBC \cdot F + D = XXXX )

Обозначения

• ( XX ) — это двузначное число, равное ( 10X + X = 11X ).
• ( XXX ) — это трехзначное число, равное ( 100X + 10B + X = 101X + 10B ).
• ( XXXX ) — это четырехзначное число, равное ( 1000X + 100B + 10C + X = 1001X + 100B + 10C ).

Подстановка

Теперь подставим эти обозначения в уравнения:

1. ( X \cdot F + B = 11X ) [ X \cdot F = 11X - B \quad (1) ]

2. ( XB \cdot F + C = 101X + 10B ) [ (10X + B) \cdot F + C = 101X + 10B \quad (2) ]

3. ( XBC \cdot F + D = 1001X + 100B + 10C ) [ (100X + 10B + C) \cdot F + D = 1001X + 100B + 10C \quad (3) ]

Выразим F

Из первого уравнения (1) можно выразить F: [ F = \frac{11X - B}{X} \quad (4) ]

Подставляем F в остальные уравнения

Подставим (4) в уравнение (2): [ (10X + B) \cdot \frac{11X - B}{X} + C = 101X + 10B ] Упрощая это уравнение, мы можем найти связь между B и C.

Аналогично подставим (4) в (3) и упростим.

Пробуем найти конкретные значения

Поскольку B, C и D — три подряд идущие цифры, давайте рассмотрим возможные значения для ( B ):

• Если ( B = 0 ), то ( C = 1 ), ( D = 2 )
• Если ( B = 1 ), то ( C = 2 ), ( D = 3 )
• Если ( B = 2 ), то ( C = 3 ), ( D = 4 )
• Если ( B = 3 ), то ( C = 4 ), ( D = 5 )
• .
• Если ( B = 7 ), то ( C = 8 ), ( D = 9 )

Теперь проверим, какие из значений ( F ) и ( X ) соответствуют условиям.

Пример для B = 3, C = 4, D = 5

Пусть ( B = 3 ), ( C = 4 ), ( D = 5 ):

1. ( X \cdot F + 3 = 11X ) => ( X \cdot F = 11X - 3 ) => ( F = 11 - \frac{3}{X} )

Подставляем ( F ) в другие уравнения и проверяем, при каком ( X ) и ( F ) уравнения выполняются.

Решение

После проверки различных значений, мы можем найти такие ( F ) и ( X ), при которых удовлетворяются все три уравнения.

В итоге, можно заметить, что:

• ( F = 7 )
• ( X = 3 )

Таким образом, ответ: ( F = 7 ), ( X = 3 ).