Размеры пластины, измеренные с точностью 1 мм, оказались равны 3 × 5 см. Найдите абсолютную погрешность (в см2) вычисленной по этим данным площади пластины.
Размеры пластины, измеренные с точностью 1 мм, оказались равны 3 × 5 см. Найдите абсолютную погрешность (в см2) вычисленной по этим данным площади пластины.
Для вычисления абсолютной погрешности площади пластины необходимо учесть погрешность измерения каждого измерения (длины и ширины).
Площадь пластины вычисляется по формуле S = a * b, где a - длина, b - ширина.
Исходя из данных, длина (a) = 3 см, ширина (b) = 5 см.
Точность измерений составляет 1 мм, что равно 0,1 см.
Таким образом, погрешность каждого измерения составляет 0,1 см.
Абсолютная погрешность площади пластины вычисляется как сумма относительных погрешностей каждого измерения:
ΔS = |∂S/∂a| Δa + |∂S/∂b| Δb,
где |∂S/∂a| и |∂S/∂b| - частные производные площади по длине и ширине соответственно.
Для данной формулы:
∂S/∂a = b, ∂S/∂b = a.
Подставляя значения и находя абсолютную погрешность для каждого измерения:
ΔS = |b| Δa + |a| Δb = 5 0,1 + 3 0,1 = 0,5 + 0,3 = 0,8 см^2.
Таким образом, абсолютная погрешность площади пластины составляет 0,8 см^2.
Абсолютная погрешность вычисленной площади пластины составит 0,15 см2.
Для начала определим абсолютную погрешность измерения каждого измерения в сантиметрах. Так как точность измерения составляет 1 мм, что в сантиметрах будет равно 0.1 см, абсолютную погрешность каждого измерения можно представить как ±0.1 см.
Площадь пластины ( S ) рассчитывается по формуле: [ S = a \times b ] где ( a ) и ( b ) — длины сторон пластины.
В данном случае ( a = 3 ) см, ( b = 5 ) см, и площадь будет равна: [ S = 3 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 15 \text{ см}^2 ]
Чтобы найти абсолютную погрешность вычисленной площади, используем формулу для погрешности произведения: [ \Delta S = S \left(\frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b}\right) ] где ( \Delta a ) и ( \Delta b ) — абсолютные погрешности измерений сторон.
Подставляя данные: [ \Delta a = \Delta b = 0.1 \text{ см} ] [ \Delta S = 15 \text{ см}^2 \left(\frac{0.1 \text{ см}}{3 \text{ см}} + \frac{0.1 \text{ см}}{5 \text{ см}}\right) ] [ \Delta S = 15 \text{ см}^2 \left(\frac{1}{30} + \frac{1}{50}\right) ] [ \Delta S = 15 \text{ см}^2 \left(\frac{5}{150} + \frac{3}{150}\right) ] [ \Delta S = 15 \text{ см}^2 \cdot \frac{8}{150} ] [ \Delta S = \frac{120}{150} \text{ см}^2 ] [ \Delta S = 0.8 \text{ см}^2 ]
Таким образом, абсолютная погрешность вычисленной площади пластины составляет 0.8 см².
