Срочно, пожалуйста решите уравнение 121(x)+1=101(8) ответ запишите в десятичной системе
Срочно, пожалуйста решите уравнение 121(x)+1=101(8) ответ запишите в десятичной системе
Давайте разберемся с данным уравнением:
Уравнение:
[ 121(x) + 1 = 101(8) ]
Здесь ( 121(x) ) означает число ( 121 ), записанное в системе счисления с основанием ( x ).
Шаг 1: Преобразуем правую часть уравнения ( 101(8) ):
Число ( 101(8) ) записано в восьмеричной системе счисления. Чтобы преобразовать его в десятичную систему счисления, воспользуемся формулой для преобразования из систем счисления:
[
N = an \cdot b^n + a{n-1} \cdot b^{n-1} + \dots + a_0 \cdot b^0,
]
где ( a_i ) — цифры числа, ( b ) — основание системы счисления.
Для числа ( 101(8) ):
[
101(8) = 1 \cdot 8^2 + 0 \cdot 8^1 + 1 \cdot 8^0 = 64 + 0 + 1 = 65.
]
Таким образом, ( 101(8) = 65(10) ).
Теперь уравнение примет вид:
[
121(x) + 1 = 65.
]
Шаг 2: Преобразуем левую часть уравнения ( 121(x) ):
Число ( 121(x) ) записано в системе счисления с основанием ( x ). Используем ту же формулу для разложения числа:
[
121(x) = 1 \cdot x^2 + 2 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0 = x^2 + 2x + 1.
]
Подставим это в уравнение:
[
x^2 + 2x + 1 + 1 = 65.
]
Упростим:
[
x^2 + 2x + 2 = 65.
]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение:
[
x^2 + 2x + 2 - 65 = 0,
]
[
x^2 + 2x - 63 = 0.
]
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac, \quad a = 1, \, b = 2, \, c = -63.
]
[
D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256.
]
Теперь найдем корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.
]
[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-2 \pm 16}{2}.
]
Шаг 4: Проверка решения:
Так как основание системы счисления должно быть целым числом больше 1, то ( x = 7 ).
Подставим ( x = 7 ) в ( 121(x) ):
[
121(7) = 1 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7 + 1 = 49 + 14 + 1 = 64.
]
[
121(7) + 1 = 64 + 1 = 65.
]
Условие выполняется.
Ответ:
Основание системы счисления ( x = 7 ).
Для решения уравнения ( 121(x) + 1 = 101(8) ) сначала нужно привести обе стороны уравнения к одной системе счисления. В данном случае, одна из сторон записана в системе счисления с основанием 8, а другая — в системе счисления с основанием 121.
Переводим ( 101(8) ) в десятичную систему:
Число ( 101(8) ) означает:
[ 1 \cdot 8^2 + 0 \cdot 8^1 + 1 \cdot 8^0 = 1 \cdot 64 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 1 = 64 + 0 + 1 = 65 ]
Таким образом, ( 101(8) = 65_{10} ).
Теперь у нас есть уравнение:
[ 121(x) + 1 = 65 ]
Теперь выразим ( 121(x) ):
[ 121(x) = 65 - 1 = 64 ]
Переводим ( 121(x) ) в десятичную систему:
Число ( 121(x) ) представляется как:
[ 1 \cdot x^2 + 2 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0 = 1 \cdot x^2 + 2 \cdot x + 1 ]
Подставим это в уравнение:
[ x^2 + 2x + 1 = 64 ]
Теперь упростим уравнение:
[ x^2 + 2x + 1 - 64 = 0 ] [ x^2 + 2x - 63 = 0 ]
Решаем квадратное уравнение:
Используем формулу для решения квадратных уравнений:
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
Здесь ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -63 ):
[ b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256 ]
Теперь подставим в формулу:
[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 16}{2} ]
Это дает два возможных решения:
[ x_1 = \frac{14}{2} = 7 ] [ x_2 = \frac{-18}{2} = -9 ]
Проверяем допустимость решений:
Поскольку ( x ) должно быть положительным и больше 2 (так как в системе счисления основание должно быть больше 1), то единственно допустимое решение — это ( x = 7 ).
Таким образом, ответ в десятичной системе: ( x = 7 ).
Для решения уравнения ( 121(x) + 1 = 101(8) ) сначала преобразуем все числа в десятичную систему.
Теперь уравнение выглядит так: [ 121(x) + 1 = 65 ]
Переносим 1 на правую сторону: [ 121(x) = 65 - 1 ] [ 121(x) = 64 ]
Теперь преобразуем ( 121(x) ) в десятичную систему: [ 1 \cdot x^2 + 2 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0 = x^2 + 2x + 1 ]
Теперь у нас есть уравнение: [ x^2 + 2x + 1 = 64 ]
Переносим 64 на левую сторону: [ x^2 + 2x + 1 - 64 = 0 ] [ x^2 + 2x - 63 = 0 ]
Решаем квадратное уравнение: [ (x + 9)(x - 7) = 0 ]
Получаем два корня: [ x = -9 \quad \text{или} \quad x = 7 ]
Так как основание системы счисления должно быть положительным, принимаем ( x = 7 ).
Ответ: ( 7 ) в десятичной системе.
