Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 61...

Чтобы определить основания систем счисления, в которых запись числа 61 оканчивается на 15, нужно понимать, что "15" в данном контексте означает, что последние две цифры числа в данной системе счисления будут равны 1 и 5.

Запись числа 61 в системе счисления с основанием ( b ) будет выглядеть так:

[ 61 = a \cdot b^1 + b \cdot b^0 ]

где ( a ) и ( b ) являются цифрами в этой системе счисления. Поскольку мы ищем такие основания ( b ), при которых запись числа 61 оканчивается на "15", это означает, что:

1. Последняя цифра (единицы) равна 5.
2. Предпоследняя цифра (десятки) равна 1.

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые мы можем составить на основе этих условий:

1. ( 61 \mod b = 5 ) (число 61 при делении на основание ( b ) дает в остатке 5)
2. ( \left\lfloor \frac{61}{b} \right\rfloor \mod b = 1 ) (частное от деления 61 на ( b ) при делении на основание ( b ) дает в остатке 1)

Решим первое уравнение:

1. ( 61 \mod b = 5 ) Это уравнение можно переписать как: [ 61 - 5 = 56 \quad \text{(то есть, } 56 \text{ делится на } b\text{)} ] Таким образом, ( b ) должно быть делителем 56.

Теперь найдем делители 56. Делители 56: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.

Теперь проверим каждый из делителей, чтобы найти такие, которые соответствуют второму условию.

1. Проверим для каждого делителя, удовлетворяет ли оно второму условию ( \left\lfloor \frac{61}{b} \right\rfloor \mod b = 1 ):

• b = 1: ( \left\lfloor \frac{61}{1} \right\rfloor = 61 ), ( 61 \mod 1 = 0 ) (не подходит)
• b = 2: ( \left\lfloor \frac{61}{2} \right\rfloor = 30 ), ( 30 \mod 2 = 0 ) (не подходит)
• b = 4: ( \left\lfloor \frac{61}{4} \right\rfloor = 15 ), ( 15 \mod 4 = 3 ) (не подходит)
• b = 7: ( \left\lfloor \frac{61}{7} \right\rfloor = 8 ), ( 8 \mod 7 = 1 ) (подходит)
• b = 8: ( \left\lfloor \frac{61}{8} \right\rfloor = 7 ), ( 7 \mod 8 = 7 ) (не подходит)
• b = 14: ( \left\lfloor \frac{61}{14} \right\rfloor = 4 ), ( 4 \mod 14 = 4 ) (не подходит)
• b = 28: ( \left\lfloor \frac{61}{28} \right\rfloor = 2 ), ( 2 \mod 28 = 2 ) (не подходит)
• b = 56: ( \left\lfloor \frac{61}{56} \right\rfloor = 1 ), ( 1 \mod 56 = 1 ) (подходит)

Таким образом, подходящие основания систем счисления:

• ( b = 7 )
• ( b = 56 )

Теперь запишем их в порядке возрастания:

Ответ: 7, 56.

Основания систем счисления, в которых запись числа 61 оканчивается на 15, это 16, 17.

Для того чтобы определить основания систем счисления, в которых запись числа 61 оканчивается на "15", требуется разобраться, как выполняется представление чисел в позиционных системах счисления.

Общий принцип:

В позиционной системе счисления с основанием ( q ), любое число ( N ) представляется в виде: [ N = ak \cdot q^k + a{k-1} \cdot q^{k-1} + \dots + a_1 \cdot q + a_0, ] где ( ak, a{k-1}, \dots, a_0 ) — цифры числа в данной системе счисления, а ( q ) — основание системы счисления (целое число, большее 1).

Если запись числа 61 оканчивается на "15" в системе счисления с основанием ( q ), это означает, что последние две цифры числа равны 1 и 5, соответственно. Тогда можно записать: [ 61 = 1 \cdot q + 5, ] где ( 5 ) — младший разряд (остаток при делении на ( q )), а ( 1 ) — старший разряд (частное от деления на ( q )).

Решение уравнения:

Чтобы найти ( q ), преобразуем уравнение: [ 61 = 1 \cdot q + 5. ] Вычтем 5 из обеих частей уравнения: [ 61 - 5 = 1 \cdot q, ] [ q = 56. ]

Следовательно, основание системы счисления ( q ) должно быть таким, чтобы при делении числа 61 на ( q ) остаток был равен 5, а частное — 1. Это возможно только если ( q > 5 ) (так как основание системы счисления должно быть больше старшей цифры в записи числа).

Проверим:

1. ( q = 6 ): Проверяем, делится ли ( 61 ) с остатком 5. [ 61 \div 6 = 10 \text{ (целая часть)}, \, 61 - 10 \cdot 6 = 1 1