Укажите наибольшее трехзначное восьмеричное число в двоичной записи которого содержится ровно 4 нуля

Чтобы решить задачу, начнем с анализа и шагов, которые необходимо выполнить.

Понимание задачи:

1. Ограничение числа: Требуется найти наибольшее трехзначное восьмеричное число. Восьмеричные числа записываются в системе счисления с основанием 8, где цифры могут быть от 0 до 7. Трехзначное восьмеричное число — это число вида (abc_8), где (a, b, c) — цифры в диапазоне от 0 до 7, а (a \neq 0) (т.к. оно трехзначное).

   • Самое большое трехзначное восьмеричное число: (777_8).

2. Преобразование в двоичную систему: Каждая восьмеричная цифра преобразуется в 3 двоичные цифры (т.к. (2^3 = 8)). Например:

   • (7_8 = 111_2),
   • (6_8 = 110_2),
   • (5_8 = 101_2), и т.д. Трехзначное восьмеричное число (abc_8) будет представлено в двоичной системе как последовательность из (3 \times 3 = 9) бит.

3. Условие задачи: Требуется, чтобы в двоичной записи числа было ровно 4 нуля. Остальные биты (9 - 4 = 5) будут единицами.

4. Цель задачи: Найти наибольшее число, которое удовлетворяет этим условиям.

Решение:

Шаг 1. Представление числа в двоичной системе.

Пусть (abc_8) — трехзначное восьмеричное число. Его двоичная запись будет иметь 9 бит. Чтобы число было наибольшим, нужно:

• Чтобы его восьмеричное значение было максимально возможным.
• Распределить 4 нуля так, чтобы число в двоичном представлении оставалось максимально большим.

Шаг 2. Проверка числа (777_8).

Максимальное восьмеричное число (777_8) в двоичной системе: [ 7_8 = 111_2, \quad 7_8 = 111_2, \quad 7_8 = 111_2. ] Таким образом, (777_8 = 111111111_2) (девять единиц).

В этом числе вообще нет нулей, поэтому оно не подходит.

Шаг 3. Подбор числа с 4 нулями.

Для выполнения условия задачи нужно выбрать такое восьмеричное число, чтобы в его двоичной записи было ровно 4 нуля. Начнем с уменьшения числа (777_8), чтобы появились нули.

Проверка (776_8):

[ 7_8 = 111_2, \quad 7_8 = 111_2, \quad 6_8 = 110_2. ] Двоичная запись: (111\ 111\ 110_2 = 111111110_2).

Здесь только 1 ноль, значит, это число тоже не подходит.

Проверка (775_8):

[ 7_8 = 111_2, \quad 7_8 = 111_2, \quad 5_8 = 101_2. ] Двоичная запись: (111\ 111\ 101_2 = 111111101_2).

Здесь 2 нуля, значит, это число тоже не подходит.

Проверка (774_8):

[ 7_8 = 111_2, \quad 7_8 = 111_2, \quad 4_8 = 100_2. ] Двоичная запись: (111\ 111\ 100_2 = 111111100_2).

Здесь 3 нуля, значит, это число тоже не подходит.

Проверка (773_8):

[ 7_8 = 111_2, \quad 7_8 = 111_2, \quad 3_8 = 011_2. ] Двоичная запись: (111\ 111\ 011_2 = 111111011_2).

Здесь 4 нуля! Это первое подходящее число.

Шаг 4. Проверка наибольшего числа.

Так как мы ищем наибольшее число, (773_8) — это кандидат. Проверим, есть ли большее число, которое также удовлетворяет условию.

Проверка (772_8):

[ 7_8 = 111_2, \quad 7_8 = 111_2, \quad 2_8 = 010_2. ] Двоичная запись: (111\ 111\ 010_2 = 111111010_2).

Здесь 5 нулей, значит, это число не подходит.

Ответ:

Наибольшее трехзначное восьмеричное число, в двоичной записи которого содержится ровно 4 нуля, — это (773_8).

Его двоичная запись: (111111011_2).

Чтобы найти наибольшее трехзначное восьмеричное число, в двоичной записи которого содержится ровно 4 нуля, начнем с определения максимального трехзначного восьмеричного числа.

Восьмеричная система счисления использует цифры от 0 до 7, и максимальное трехзначное восьмеричное число — это 777. В десятичной системе это число равно:

[ 7 \times 8^2 + 7 \times 8^1 + 7 \times 8^0 = 448 + 56 + 7 = 511. ]

Теперь переведем 511 в двоичную систему:

1. 511 в двоичном:
   • 511 делим на 2: 511 / 2 = 255, остаток 1.
   • 255 делим на 2: 255 / 2 = 127, остаток 1.
   • 127 делим на 2: 127 / 2 = 63, остаток 1.
   • 63 делим на 2: 63 / 2 = 31, остаток 1.
   • 31 делим на 2: 31 / 2 = 15, остаток 1.
   • 15 делим на 2: 15 / 2 = 7, остаток 1.
   • 7 делим на 2: 7 / 2 = 3, остаток 1.
   • 3 делим на 2: 3 / 2 = 1, остаток 1.
   • 1 делим на 2: 1 / 2 = 0, остаток 1.

Теперь записываем остатки в обратном порядке: 511 в двоичной системе — это ( 111111111_2 ).

Мы видим, что в двоичной записи 511 нет нуля. Чтобы найти наибольшее число с 4 нулями в двоичной записи, нам нужно уменьшить число и следить за количеством нулей.

Следующее число, которое мы можем проверить, — это 510:

• Двоичная запись 510:
  • 510 делим на 2: 510 / 2 = 255, остаток 0.
  • 255 делим на 2: 255 / 2 = 127, остаток 1.
  • 127 делим на 2: 127 / 2 = 63, остаток 1.
  • 63 делим на 2: 63 / 2 = 31, остаток 1.
  • 31 делим на 2: 31 / 2 = 15, остаток 1.
  • 15 делим на 2: 15 / 2 = 7, остаток 1.
  • 7 делим на 2: 7 / 2 = 3, остаток 1.
  • 3 делим на 2: 3 / 2 = 1, остаток 1.
  • 1 делим на 2: 1 / 2 = 0, остаток 1.

Таким образом, двоичная запись 510 будет ( 111111110_2 ) (это 8 единиц и 1 ноль).

Теперь попробуем 509:

• Двоичная запись 509:
  • 509 делим на 2: 509 / 2 = 254, остаток 1.
  • 254 делим на 2: 254 / 2 = 127, остаток 0.
  • 127 делим на 2: 127 / 2 = 63, остаток 1.
  • 63 делим на 2: 63 / 2 = 31, остаток 1.
  • 31 делим на 2: 31 / 2 = 15, остаток 1.
  • 15 делим на 2: 15 / 2 = 7, остаток 1.
  • 7 делим на 2: 7 / 2 = 3, остаток 1.
  • 3 делим на 2: 3 / 2 = 1, остаток 1.
  • 1 делим на 2: 1 / 2 = 0, остаток 1.

Двоичная запись 509: ( 111111101_2 ) (это 7 единиц и 2 нуля).

Продолжим до 505:

• Двоичная запись 505:
  • 505 делим на 2: 505 / 2 = 252, остаток 1.
  • 252 делим на 2: 252 / 2 = 126, остаток 0.
  • 126 делим на 2: 126 / 2 = 63, остаток 0.
  • 63 делим на 2: 63 / 2 = 31, остаток 1.
  • 31 делим на 2: 31 / 2 = 15, остаток 1.
  • 15 делим на 2: 15 / 2 = 7, остаток 1.
  • 7 делим на 2: 7 / 2 = 3, остаток 1.
  • 3 делим на 2: 3 / 2 = 1, остаток 1.
  • 1 делим на 2: 1 / 2 = 0, остаток 1.

Двоичная запись 505: ( 111111001_2 ) (это 6 единиц и 3 нуля).

Следующее число, 504:

• 504 в двоичной системе: ( 111110000_2 ) (это 5 единиц и 4 нуля).

Таким образом, мы нашли наибольшее трехзначное восьмеричное число, в двоичной записи которого ровно 4 нуля: это 504, а его двоичная запись — ( 111110000_2 ).

Наибольшее трехзначное восьмеричное число — это 777 (в восьмеричной системе). В двоичной записи 777 будет 111111111. Чтобы получить число с точно 4 нулями, необходимо заменить 4 единицы на нули. Наибольшее подходящее число с 4 нулями в двоичной записи — 11110000, что соответствует 240 в десятичной системе.

Таким образом, ответ: 240.