Упростите формулу, используя законы алгебры логики. Постройте таблицу истинности для упрощенной формулы....

Упростим формулу ( a \cdot b \cdot (a \cdot c \lor a \cdot b) ) с использованием законов алгебры логики. Затем построим таблицу истинности для упрощённой формулы.

Шаг 1. Упрощение формулы

1. Раскроем скобки: [ a \cdot b \cdot (a \cdot c \lor a \cdot b) ]

2. Применим распределительный закон ((x \cdot (y \lor z) = x \cdot y \lor x \cdot z)): [ = a \cdot b \cdot a \cdot c \lor a \cdot b \cdot a \cdot b ]

3. Упростим каждое слагаемое:

   • В первом слагаемом (a \cdot b \cdot a \cdot c), используя идемпотентность ((x \cdot x = x)), получаем (a \cdot b \cdot c).
   • Во втором слагаемом (a \cdot b \cdot a \cdot b), используя идемпотентность, получаем (a \cdot b).

   Таким образом, формула становится: [ a \cdot b \cdot c \lor a \cdot b ]

4. Вынесем общий множитель (a \cdot b) за скобки, используя дистрибутивность ((x \cdot y \lor x \cdot z = x \cdot (y \lor z))): [ = a \cdot b \cdot (c \lor 1) ]

5. Используем закон поглощения ((x \lor 1 = 1)): [ = a \cdot b ]

Итак, упрощённая формула: [ a \cdot b ]

Шаг 2. Построение таблицы истинности

Для упрощённой формулы (a \cdot b) (конъюнкция (a) и (b)) построим таблицу истинности:

Итог

1. Упрощённая формула: (a \cdot b).
2. Таблица истинности для (a \cdot b) показывает, что результат истинен ((1)) только в случае, если оба входа (a) и (b) равны единице.

Чтобы упростить формулу ( a b (a c \lor a b) ), воспользуемся законами алгебры логики.

1. Применим закон дистрибутивности: [ a b (a c \lor a b) = a b a c \lor a b a b ]

2. Упрощаем выражение: [ a b a b = a b ] (так как ( x * x = x ) для любой логической переменной ( x ))

3. Теперь выражение выглядит так: [ a b a c \lor a b ]

4. Применим закон идемпотентности к первому члену: [ a b a c = a b c ] (так как ( a a = a ))

5. Теперь у нас есть: [ a b c \lor a * b ]

6. Факторизуем: [ a b (c \lor 1) = a * b ] (так как ( c \lor 1 = 1 ) для любого ( c ))

Следовательно, окончательная упрощенная формула: [ a * b ]

Теперь построим таблицу истинности для упрощенной формулы ( a * b ):

Объяснение таблицы:

• Если хотя бы одна из переменных ( a ) или ( b ) равна 0, то результат ( a * b ) будет равен 0.
• Только когда обе переменные равны 1, результат будет равен 1.

Таким образом, мы упростили исходную формулу до ( a * b ) и построили соответствующую таблицу истинности.