В какой системе счисления справедливо следующие равенство 31+57=110

Для того чтобы выяснить, в какой системе счисления справедливо равенство (31 + 57 = 110), необходимо рассмотреть, как числа преобразуются в различных системах счисления.

В системе счисления с основанием (b), число записанное как (31_b) расшифровывается как:

[3 \cdot b^1 + 1 \cdot b^0 = 3b + 1.]

Аналогично, число (57_b) преобразуется в:

[5 \cdot b^1 + 7 \cdot b^0 = 5b + 7.]

Сумма этих чисел в системе с основанием (b) должна дать (110_b), что расшифровывается как:

[1 \cdot b^2 + 1 \cdot b^1 + 0 \cdot b^0 = b^2 + b.]

Теперь у нас есть уравнение, которое нужно решить:

[3b + 1 + 5b + 7 = b^2 + b.]

Упростим его:

[8b + 8 = b^2 + b.]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

[b^2 + b - 8b - 8 = 0,]

[b^2 - 7b - 8 = 0.]

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

[D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81.]

Корни уравнения:

[b_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 9}{2}.]

Получаем два корня:

1. (b_1 = \frac{7 + 9}{2} = 8;)
2. (b_2 = \frac{7 - 9}{2} = -1.)

Поскольку основание системы счисления должно быть положительным и больше 1, подходящий корень — это (b = 8).

Таким образом, равенство (31 + 57 = 110) справедливо в восьмеричной системе счисления.

Данное равенство справедливо в двоичной системе счисления. В этой системе числа записываются в виде комбинации нулей и единиц.

Число 31 в двоичной системе представляется как 11111, число 57 - как 111001, а результат сложения 31 и 57, то есть 88, - как 1011000.

Таким образом, в двоичной системе счисления выполняется равенство 11111 + 111001 = 1011000, что соответствует равенству 31 + 57 = 110 в десятичной системе.