В классе 1000 учеников, из них 120 девочек и 110 мальчиков. в какой системе счисления велся счет учеников?...

Давайте разберемся с заданием. У нас есть следующее:

• В классе 1000 учеников в некой системе счисления.
• Из них 120 девочек (в той же системе счисления).
• Из них 110 мальчиков (в той же системе счисления).

Сначала заметим, что сумма девочек и мальчиков должна равняться общему числу учеников в классе. То есть:

[ 120{b} + 110{b} = 1000_{b} ]

где ( b ) — основание системы счисления.

Переведем эти числа в десятичную систему счисления для анализа.

Для числа ( 1000_{b} ):

[ 1000_{b} = 1 \cdot b^3 + 0 \cdot b^2 + 0 \cdot b + 0 = b^3 ]

Для числа ( 120_{b} ):

[ 120_{b} = 1 \cdot b^2 + 2 \cdot b + 0 = b^2 + 2b ]

Для числа ( 110_{b} ):

[ 110_{b} = 1 \cdot b^2 + 1 \cdot b + 0 = b^2 + b ]

Теперь подставим эти выражения в наше уравнение:

[ b^2 + 2b + b^2 + b = b^3 ]

Объединим подобные члены:

[ 2b^2 + 3b = b^3 ]

Перепишем уравнение в стандартной форме:

[ b^3 - 2b^2 - 3b = 0 ]

Вынесем ( b ) за скобки:

[ b(b^2 - 2b - 3) = 0 ]

Теперь разложим квадратный трёхчлен на множители:

[ b^2 - 2b - 3 = (b - 3)(b + 1) ]

Таким образом, у нас получается:

[ b(b - 3)(b + 1) = 0 ]

Решим это уравнение:

1. ( b = 0 ) — не подходит, так как основание системы счисления не может быть 0.
2. ( b = 3 ) — возможное решение.
3. ( b = -1 ) — не подходит, так как основание системы счисления должно быть положительным числом.

Итак, мы пришли к выводу, что основание системы счисления ( b ) равно 3.

Проверим:

• ( 1000_3 = 1 \cdot 3^3 = 27 )
• ( 120_3 = 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 = 9 + 6 = 15 )
• ( 110_3 = 1 \cdot 3^2 + 1 \cdot 3 = 9 + 3 = 12 )

И действительно:

[ 15 + 12 = 27 ]

Все верно, значит, система счисления, в которой велся счет учеников, это троичная система счисления (с основанием 3).

Счет учеников велся в троичной системе счисления. В данном случае, количество девочек и мальчиков является нечетным числом, а в троичной системе счисления используются только цифры 0, 1 и 2. Таким образом, количество девочек и мальчиков не может быть представлено в двоичной (системе счисления) с помощью только 0 и 1.