В классе 30 человек. За контрольную работу по математике получено 6 пятерок, 15 четверок, 8 троек и 1 двойка. Какое количество информации в сообщении о том, что Иванов получил четверку?
В классе 30 человек. За контрольную работу по математике получено 6 пятерок, 15 четверок, 8 троек и 1 двойка. Какое количество информации в сообщении о том, что Иванов получил четверку?
Для решения задачи воспользуемся концепцией количества информации по Шеннону. Количество информации в сообщении зависит от вероятности события, о котором идет речь. Чем меньше вероятность события, тем больше информации оно содержит.
Сначала найдем вероятность того, что случайно выбранный ученик получил четверку. В классе 30 человек, из них 15 получили четверку. Таким образом, вероятность того, что ученик получил четверку, равна: [ P(четверка) = \frac{15}{30} = 0.5. ]
Количество информации в сообщении о событии с вероятностью ( p ) определяется формулой Шеннона: [ I = -\log_2(p). ]
Подставляя значение вероятности: [ I = -\log_2(0.5) = -(-1) = 1 \text{ бит}. ]
Таким образом, сообщение о том, что Иванов получил четверку, содержит 1 бит информации. Это означает, что такое сообщение уменьшает неопределенность оценки Иванова с 2 бит до 0 бит (поскольку после сообщения мы точно знаем оценку).
Для расчета количества информации в сообщении о том, что Иванов получил четверку, необходимо вычислить вероятность этого события. В данном случае вероятность равна количеству четверок, полученных в классе, деленное на общее количество контрольных работ:
P(Иванов получил четверку) = 15/30 = 0.5
Далее используем формулу для расчета количества информации:
I = -log2(P)
I = -log2(0.5) = -log2(1/2) = -(-1) = 1
Таким образом, количество информации в сообщении о том, что Иванов получил четверку, равно 1 бит.
