В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 56 и 124 заканчиваются на 5. Определите основание...

Для десятичных чисел, которые заканчиваются на 5, основание системы счисления равно 10.

Для того чтобы определить основание системы счисления, в которой десятичные числа 56 и 124 заканчиваются на цифру 5, нам нужно понять, какие условия должны выполняться для этого.

Пусть ( b ) — основание системы счисления. Тогда числа 56 и 124, записанные в этой системе, можно представить следующим образом:

1. В системе счисления с основанием ( b ), число 56 будет записано как ( A5_b ), где ( A ) — некоторое число в этой системе. Это означает, что: [ 56 = A \cdot b + 5 ]

2. Аналогично, число 124 будет записано как ( B5_b ), где ( B ) — некоторое число в этой системе. Это означает, что: [ 124 = B \cdot b + 5 ]

Теперь нам нужно решить эти уравнения для ( b ).

Рассмотрим первое уравнение: [ 56 = A \cdot b + 5 ] Отсюда можно выразить ( A \cdot b ): [ A \cdot b = 56 - 5 = 51 ] Таким образом, ( A \cdot b = 51 ).

Рассмотрим второе уравнение: [ 124 = B \cdot b + 5 ] Отсюда можно выразить ( B \cdot b ): [ B \cdot b = 124 - 5 = 119 ] Таким образом, ( B \cdot b = 119 ).

Теперь у нас есть два уравнения: [ A \cdot b = 51 ] [ B \cdot b = 119 ]

Для того чтобы найти ( b ), нам нужно найти такие ( A ) и ( B ), которые являются целыми числами и удовлетворяют этим уравнениям. Рассмотрим возможные делители чисел 51 и 119:

51 можно разложить на множители: [ 51 = 3 \cdot 17 ]

119 можно разложить на множители: [ 119 = 7 \cdot 17 ]

Общий множитель для обоих разложений — это 17. Следовательно, ( b = 17 ).

Проверим найденное значение основания системы счисления:

1. Для числа 56: [ 56 = A \cdot 17 + 5 \implies A \cdot 17 = 51 \implies A = 3 ] Число 56 в системе счисления с основанием 17 действительно будет записано как ( 35_{17} ).

2. Для числа 124: [ 124 = B \cdot 17 + 5 \implies B \cdot 17 = 119 \implies B = 7 ] Число 124 в системе счисления с основанием 17 действительно будет записано как ( 75_{17} ).

Таким образом, основание системы счисления, в которой числа 56 и 124 заканчиваются на цифру 5, равно 17.

Для того чтобы определить основание системы счисления, в которой записи десятичных чисел 56 и 124 заканчиваются на 5, нужно рассмотреть, какие числа могут оканчиваться на 5 в различных системах счисления.

В десятичной системе счисления числа, заканчивающиеся на 5, могут быть получены при делении на 5 без остатка, т.е. числа 5, 15, 25, 35, и т.д.

Теперь рассмотрим числа 56 и 124 в некоторой системе счисления с основанием n. Представим числа в виде уравнений:

56 = 5n + 6 124 = 12n + 4

Поскольку оба числа заканчиваются на 5, значит их последние цифры 6 и 4 должны быть кратны основанию системы счисления n. Таким образом, n должно быть делителем как 6, так и 4.

Наименьшее число, которое делит и 6, и 4, это число 2. Проверим, удовлетворяет ли это условие:

56 = 52 + 6 = 16 124 = 122 + 4 = 28

Таким образом, мы убедились, что в некоторой системе счисления с основанием 2 числа 56 и 124 будут заканчиваться на 5.