В углах квадратного листа железа сторона которого равна 1 м, вырезают четыре квадрата со стороной х....

Для решения данной задачи нам необходимо найти функцию, описывающую объем бака в зависимости от размера выреза x.

Объем бака можно выразить как произведение длины, ширины и глубины бака. Длина и ширина бака равны (1 - 2x), а глубина бака равна x. Таким образом, объем бака V(x) = x(1 - 2x)^2.

Чтобы найти максимальный объем бака, необходимо найти точку экстремума функции V(x). Для этого найдем производную функции V(x) и приравняем ее к нулю:

V'(x) = (1 - 2x)^2 - 4x(1 - 2x) = 0.

Решив уравнение, получаем значение x = 1/6 м. Для проверки на максимум или минимум найдем вторую производную функции V(x):

V''(x) = 12x - 6.

При подстановке x = 1/6 м, получаем V''(1/6) = 0, что означает, что это точка перегиба функции. Таким образом, при x = 1/6 м бак будет иметь наибольший объем.

Для решения данной задачи необходимо определить значение ( x ), которое максимизирует объем бака, получаемого после вырезания углов и складывания оставшейся части металлического листа.

1. Описание конструкции:

   • Исходный квадратный лист имеет сторону 1 метр.
   • Из каждого угла вырезается квадрат со стороной ( x ).
   • После вырезания углов, лист превращается в крестовидную фигуру, которая складывается в коробку (бак) без крышки.

2. Геометрия бака:

   • После вырезания, размеры основания бака будут равны ( 1 - 2x ) (остаточная длина и ширина, так как вырезы делаются с обеих сторон).
   • Высота бака будет равна ( x ) (вырезанные квадраты формируют стенки бака).

3. Формула для объема бака:

   • Объем бака ( V ) может быть выражен как произведение площади основания на высоту: [ V = (1 - 2x)^2 \cdot x ]

4. Оптимизация:

   • Для поиска максимального объема необходимо максимизировать функцию ( V(x) = (1 - 2x)^2 \cdot x ).
   • Начнем с нахождения производной функции объема: [ V(x) = (1 - 2x)^2 \cdot x ] [ V'(x) = \frac{d}{dx}((1 - 2x)^2 \cdot x) = (1 - 2x)^2 + x \cdot \frac{d}{dx}((1 - 2x)^2) ] [ = (1 - 2x)^2 + x \cdot 2(1 - 2x)(-2) ] [ = (1 - 2x)^2 - 4x(1 - 2x) ] [ = (1 - 2x)(1 - 2x - 4x) ] [ = (1 - 2x)(1 - 6x) ]

5. Нахождение критических точек:

   • Для нахождения критических точек, приравняем производную к нулю: [ (1 - 2x)(1 - 6x) = 0 ]

6. Решаем уравнения:

   • ( 1 - 2x = 0 \Rightarrow x = 0.5 )
   • ( 1 - 6x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{6} )

7. Анализ полученных значений:

   • ( x = 0.5 ) не подходит, так как это приведет к нулевому основанию бака.
   • ( x = \frac{1}{6} ) является допустимым значением.

8. Проверка второго порядка:

   • Можно воспользоваться второй производной или просто проверить значения объема на краях допустимого диапазона (например, при ( x = 0 ) и ( x = 0.25 )) и в найденной критической точке.

9. Заключение:

   • Максимальный объем бака достигается при ( x = \frac{1}{6} ) метра. Это значение обеспечивает оптимальную балансировку между размерами основания и высотой бака.