Запись числа 280 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 0 . Чему равно...

Для того чтобы число 280 содержало 3 цифры и оканчивалось на 0 в системе счисления с основанием N, необходимо, чтобы это число было меньше, чем N^3 (N в степени 3), и делилось на N.

Таким образом, мы можем записать неравенство: 280 < N^3 и 280 mod N = 0

Решая данное неравенство, мы получаем, что максимально возможное основание системы счисления равно 7. Так как 7^3 = 343, что больше 280, а 280 делится на 7 без остатка.

Следовательно, максимально возможное основание системы счисления для записи числа 280, содержащего 3 цифры и оканчивающегося на 0, равно 7.

Для определения максимально возможного основания ( N ) системы счисления, в которой число 280 имеет представление с тремя цифрами и оканчивается на 0, нужно учитывать несколько ключевых моментов.

1. Число оканчивается на 0: Это означает, что число 280 должно быть кратно ( N ).

2. Запись числа содержит 3 цифры: Это означает, что число 280 в системе счисления с основанием ( N ) должно быть представлено в виде ( \overline{ab0}_N ), где ( a ) и ( b ) — цифры в этой системе счисления.

Итак, начнем с того, что число 280 в системе счисления с основанием ( N ) представляется как ( a \cdot N^2 + b \cdot N + 0 ), где ( a ) и ( b ) — цифры в системе счисления, и ( a ) и ( b ) должны быть меньше ( N ).

Запишем уравнение: [ 280 = a \cdot N^2 + b \cdot N ]

Так как число оканчивается на 0, ( 280 ) должно быть кратно ( N ): [ 280 = kN ] где ( k ) — некоторое целое число.

Максимально возможное основание ( N ) будет тогда, когда ( k ) минимально, но при этом число ( 280 ) должно содержать 3 цифры. Для этого рассмотрим какие значения ( a ) и ( b ) возможны.

Попробуем разные значения ( N ), начиная с больших значений и проверяя условия:

1. ( N = 10 ): [ 280 / 10 = 28 ] Представление числа 280 в десятичной системе: ( 280 ). Это не соответствует условию, так как число имеет более 3 цифр.

2. ( N = 15 ): [ 280 / 15 \approx 18.67 ] Не подходит, так как результат нецелый.

3. ( N = 20 ): [ 280 / 20 = 14 ] Представление числа 280 в двадцатичной системе: ( 14_020 ). Это дает 3 цифры, и число оканчивается на 0. Проверим:

   [ 280 = 1 \cdot 20^2 + 4 \cdot 20 + 0 ] [ 280 = 400 + 80 + 0 ] Это неверно, так как ( 280 \neq 480 ).

4. ( N = 30 ): [ 280 / 30 \approx 9.33 ] Не подходит, так как результат нецелый.

5. ( N = 40 ): [ 280 / 40 = 7 ] Представление числа 280 в сороковой системе: ( 70_040 ). Это дает 3 цифры, и число оканчивается на 0. Проверим:

   [ 280 = 7 \cdot 40 + 0 ] [ 280 = 280 ] Это верно.

Таким образом, максимально возможное основание ( N ) системы счисления, в которой число 280 содержит три цифры и оканчивается на 0 — это 40.