Запись числа 325 с системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 1. Чему равно минимальное возможное основание системы счисления?
Запись числа 325 с системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 1. Чему равно минимальное возможное основание системы счисления?
Чтобы ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим запись числа 325 в системе счисления с основанием N, которая содержит 3 цифры и оканчивается на 1. Пусть запись числа имеет вид (a_2a_1a_0), где (a_2, a_1, a_0) - цифры числа в системе счисления с основанием N, причём (a_0 = 1).
Тогда число 325 можно представить следующим образом: [ 325 = a_2N^2 + a_1N + a_0 ] Подставляя (a_0 = 1), получаем: [ 325 = a_2N^2 + a_1N + 1 ]
Теперь наша задача - найти такие (a_2), (a_1) и N, что данное уравнение будет верно и значения (a_2) и (a_1) будут допустимыми цифрами в системе счисления с основанием N (то есть (0 \leq a_i < N)).
Переформулируя уравнение: [ 324 = a_2N^2 + a_1N ]
Нам нужно также минимизировать N, начиная с наименьшего возможного основания, при котором (a_2) и (a_1) - допустимые цифры. Поскольку число заканчивается на 1, минимально возможное основание больше 1.
Далее, проверим возможные значения N:
При (N = 2), (a_2) и (a_1) могут принимать значения 0 или 1. Уравнение (324 = a_2 \cdot 2^2 + a_1 \cdot 2) не имеет решений при целых (a_2) и (a_1).
Продолжаем проверять последующие значения N. При (N = 3), (a_2) и (a_1) могут быть 0, 1, или 2. Уравнение (324 = a_2 \cdot 3^2 + a_1 \cdot 3) также не дает нам подходящих решений.
При (N = 4), (a_2) и (a_1) могут быть 0, 1, 2, или 3. Уравнение (324 = a_2 \cdot 4^2 + a_1 \cdot 4) также не решается при допустимых (a_2) и (a_1).
Проверяем (N = 5), (a_2) и (a_1) могут быть 0, 1, 2, 3, или 4. Уравнение (324 = a_2 \cdot 5^2 + a_1 \cdot 5). Решая, находим (a_2 = 12) и (a_1 = 4), что дает нам (324 = 12 \cdot 25 + 4 \cdot 5), что действительно равно 324.
Итак, минимальное возможное основание системы счисления для числа 325, которое содержит 3 цифры и оканчивается на 1, равно 5.
Для того чтобы найти минимальное возможное основание системы счисления, воспользуемся условием задачи: число 325 записано в системе счисления с основанием N, содержит 3 цифры и оканчивается на 1.
Представим число 325 в десятичной системе счисления:
3N^2 + 2N + 5 = 325
Так как число содержит 3 цифры, то оно находится в промежутке от 100 до 999.
Подставим минимальную и максимальную границы в уравнение:
Для 100: 3100^2 + 2100 + 5 = 305 Для 999: 3999^2 + 2999 + 5 = 299692
Так как число оканчивается на 1, то минимальное возможное основание N будет равно 10, так как только при этом основании число может оканчиваться на 1.
Итак, минимальное возможное основание системы счисления равно 10.
